2021年12月2日木曜日

2次方程式の解

2次方程式を解いてみよう。

\[ a x^2 + b x + c = 0 \] \[ a x^2 + b x = -c \ , \] \[ x^2 + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} \ , \] \[ x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 = - \frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 \ , \] \[ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^ 2 = - \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \ , \] \[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}} \ . \]

上のやり方は、2次方程式を変形し \( (x + \frac{b}{2a})^2 \) をうまくつくりあげることがコツであった。

次のやり方は、\( (2ax + b)^2 \) をつくるように変形する。このため\( x^2 \)の係数が \( 4a^2 \)となるように \( 4a \)を元の2次方程式の両辺にかける。

\[ a x^2 + b x + c = 0 \] \[ 4a^2x^2 + 4abx +4ac = 0 \ , \] \[ 4a^2x^2 + 4abx = -4ac \ , \]

次に\( b^2 \)を両辺に加える。

\[ 4a^2x^2 + 4abx +b^2 = b^2 -4ac \ , \] \[ (2ax+b)^2 = b^2 -4ac \ , \] \[ 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \ . \]

どちらのやり方も次のように、

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}} \ , \] \[ x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2 -4ac }{4a^2} } \ , \]

あるいは

\[ 2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \ , \]

等より

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \ . \] と見慣れた形の2次方程式の解を求めることができる。

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