Automorphic number、自己同型数、自守数、Circular number

平方すると下位の数字のならびが元の数と同じという数で、日本語では自己同型数という。日本語で自己同型と言われるとわかりにくいような気にもあるが、Automorphic の訳となっている。

ちなみに、中国語では「自守数」。

英語版 Wikipedia にある別名、Circular number の方が数字の並びをあらわしている。

用語はともかく、プログラムを書いて実際 0 からはじめて１つずつ順に大きな桁まで計算するとなかなかこれは実行時間がかかった。

単純なプログラムで、なんとか風呂に入ってる間くらいで計算できたのは、

0  Automorphic

1  Automorphic

5  Automorphic

6  Automorphic

25  Automorphic

76  Automorphic

376  Automorphic

625  Automorphic

9376  Automorphic

90625  Automorphic

109376  Automorphic

890625  Automorphic

2890625  Automorphic

7109376  Automorphic

12890625  Automorphic

87109376  Automorphic

212890625  Automorphic

このくらいまでだった。

実際にたしかめると、212890625 * 212890625 = 45322418212890625 。

上の計算は、Frink の文字列処理関数を判定に使った。if と String 関数だけで書くと次のようなる。

n = 0

do {

        if   substringLen[toString[n*n],  length[toString[n*n]] - length[toString[n]], length[toString[n]]] == toString[n] 

        {

                println["$n  Automorphic"]

        }

} while  n <= 1000000000

212890625 の次の自己同型数は、風呂からでてアイスコーヒーを飲みおわってもまだ出てこなかった。苦笑

この例は 10進数の場合である。

10進数のときの下位のけたの特徴はすぐわかる。この特徴を証明できれば、大きなけたまでの計算が少し時間短縮される。しかし無限にあることもわかる。

OEIS A003226  など参照。

Automorphic number については、Rec Math の半世紀くらい前の記事も参考になる。マーチン・ガードナーとかをよく読んでいた頃に購読していたが、全部処分してしまって部屋にはなくなってた。残念。