\[ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left( {n(n+1) \over 2} \right) ^2 \]
\[ S = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1+2+ \cdots +n)^2 \]
とおく。
\(n\) の\(4\)乗と \(n-\)\(1\) の\(4\)乗の差は、次の式になる。
\[ n^4 - (n-1)^4 = 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1\]
\(n=1,2,3,\cdots,n\)について、\(n\) と \(n-1\) の \(4\)乗の差を求める。
\[ 1^4 - 0^4 = 4 \cdot 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 1\] \[ 2^4 - 1^4 = 4 \cdot 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 1\] \[ 3^4 - 2^4 = 4 \cdot 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 - 1\] \[ \cdots \] \[ n^4 - (n-1)^4 = 4 \cdot n^3 - 6 \cdot n^2 + 4 \cdot n - 1\]
これらの等式の和は、次のようになる。
\[ n^4 - 0^4 = 4 (1^3+2^3+ \cdots +n^3) - 6 (1^2+2^2+ \cdots +n^2) + 4(1+2+ \cdots +n) \]
自然数の平方和について知っていると仮定すれば、
\[ n^4 = 4S -6 \cdot n(n+1)(2n+1)/6 + 4n(n+1)/2 - n \] \[ n^4 = 4S - n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) - n \] \[ 4S = n^4 + n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) + n \] \[ = n^4 + (n+1)(n(2n+1)-2n) + n\] \[ = n^4 + (n+1)(2n^2-n) + n\] \[ = n^4 + 2n^3 + n^2 - n + n\] \[ = n^4 + 2n^3 + n^2\] \[ = n^2(n^2+2n+1)\] \[ = n^2(n+1)^2\]
故に
\[ S = \left( {n(n+1) \over 2} \right) ^2\]
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