答は、ゼロ ( 0 ) は偶数だ。
が、これは証明しなければいけないのか？
偶数とは、2 で割ったとき整数となる数だから、でいいのか？ ゼロを ２で割るとゼロ、ゼロは整数であるからこれでいいのだろう。もしゼロが整数でないことになれば、たいへん困る。
もうひとつ、正なのか負なのか？
これは、正でなく負でもない、と答えたいところだけど、
「正でない」整数の集合 = 負数の集合 + {0}
「負でない」整数の集合 = 整数の集合 + {0}
というのは正しい？
Andre Weil の Number Theory for Beginners を読みながらふと思った。
ゼロについて練習問題にするほどではないが、 Weil の練習問題の一番は
「(-1) × (-1) = +1 は、分配律より得られることを証明せよ」なのでこれを眺めている途中でふと思ったことのひとつ。
分配律というのは、
整数 (Z) や有理数 (R) に関し仮定された基本的性質の１つである。
(-1) × (-1) = +1 は、次の仮定の中の(5)から導けることを示せばよい。
(1) (x + y) + z = x + (y + z)
(2) x + y = y + x
(3) 方程式 a + x = b は、ただ１つの根をもつ。ただし、a, b ∈ Z のとき根は Z の中、a, b ∈ Q のとき根は Q の中に。
(4) 0 + x = x
(1') (xy)z = x(yz)
(2') xy = yx
(3') a, b ∈ Q で a ≠ 0 のとき、方程式 ax = b は Q に属するただ１つの根 x をもつ。
(4') 1・x = x
(5) x(y + z) = xy + xz (分配律)
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