2021年5月3日月曜日

ゼロは偶数か奇数か? (-1) × (-1) は +1 となることをどうやって証明する?

 答は、ゼロ ( 0 ) は偶数だ。

が、これは証明しなければいけないのか?

偶数とは、2 で割ったとき整数となる数だから、でいいのか? ゼロを 2で割るとゼロ、ゼロは整数であるからこれでいいのだろう。もしゼロが整数でないことになれば、たいへん困る。


もうひとつ、正なのか負なのか?

これは、正でなく負でもない、と答えたいところだけど、

「正でない」整数の集合 = 負数の集合 +  {0}

「負でない」整数の集合 = 整数の集合 + {0}

というのは正しい?

Andre Weil の Number Theory for Beginners を読みながらふと思った。

ゼロについて練習問題にするほどではないが、 Weil の練習問題の一番は

「(-1) × (-1) = +1 は、分配律より得られることを証明せよ」なのでこれを眺めている途中でふと思ったことのひとつ。

分配律というのは、

整数 (Z) や有理数 (R) に関し仮定された基本的性質の1つである。

(-1) × (-1) = +1 は、次の仮定の中の(5)から導けることを示せばよい。

(1)  (x + y) + z = x + (y + z)

(2)  x  +  y =  y  +  x

(3)  方程式 a + x = b は、ただ1つの根をもつ。ただし、a, b ∈ Z のとき根は Z の中、a, b ∈ Q のとき根は Q の中に。

(4)  0 + x  = x

(1')  (xy)z = x(yz)

(2')  xy = yx

(3')  a, b ∈ Q で a ≠ 0 のとき、方程式 ax = b は Q に属するただ1つの根 x をもつ。

(4')  1・x = x

(5)  x(y + z) = xy + xz  (分配律)










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